Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，f（β+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由图可知A的值，由T，可求ω，从而可求函数f（x）的解析式．
（2）由f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可知sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，由f（β+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，可知cosβ，利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，利用两角和的余弦函数公式可求cos（α+β），结合范围α+β∈（0，π），即可得解α+β的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）
且$\frac{1}{2}$T=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）
所以$\frac{2π}{ω}$=2π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．         …（6分）
（2）由f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可知2sin（$α+\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
因为α∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．          …（8分）
由f（β+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，可知2sin（$β+\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，即sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
因为β∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，…（10分）
于是cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）
因为α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以α+β∈（0，π），
所以α+β=$\frac{π}{4}$．…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．