Question

【题目】已知f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ ；g（x）=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ；设函数F（x）=[f（x+3）]2015[g（x﹣4）]2016 ， 且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ ，∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2014
=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2012）+x2014
当x=﹣1时，f′（x）=2×1007+1=2015＞0，
当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2012）+x2014
=（1﹣x） +x2014
= ＞0，
∴f（x）=1+x﹣ + ﹣ +…+ 在R上单调递增，
∴f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，
∴函数f（x）在（﹣1，0）内有唯一零点，
由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，
∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．
∴[f（x+3）]2015在（﹣4，﹣3）上有唯一零点，
∵g（x）=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ，
∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2015
=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2015]
=﹣f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，
又g（1）=1﹣1 ＞0，
g（2）= ＜0，
当n≥2时， = ＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．
∴[g（x﹣4）]2016在（5，6）上有唯一零点．
∵F（x）=[f（x+3）]2015[g（x﹣4）]2016 ，
∴F（x）的零即为[f（x+3）]2015和[g（x﹣4）]2016的零点．
∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．
故选：C．