Question

已知抛物线C：y²=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，则抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线的方程为

48x-y-95=0

．

Answer 1

分析：由抛物线C：y²=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，推导出抛物线C：y²=24x．由此利用点差法能求出抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线方程．

解答：解：准线x=-

p

2

，
由抛物线定义，M到焦点距离等于到准线距离，
M到准线距离=1-（-

p

2

）=7，p=12．
∴抛物线C：y²=24x．
设抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB义抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入抛物线C：y²=24x，得

y12=24x1 y22=24x2

，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=24（x₁+x 2 ）（x₁-x₂），
∴2（y₁-y₂）=96（x 1 -x₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=48，
∴抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线方程为y-1=48（x-2），
整理，得48x-y-95=0．
故答案为：48x-y-95=0．

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．