Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=

2

，AB=2
求证：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC⊥平面BDE
（3）求二面角E-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）利用中位线的方法在平面内找到与已知直线平行的直线，结合平面平行的判定定理即可得到答案．
（2）要证明面面垂直一般先在其中一个平面内找到另一个平面的垂线，在利用线线垂直证明线面垂直即可．
（3）结合题中的条件找到二面角或者与二面角互补的角，再利用解三角形的有关知识求解答案．

解答：解：证明（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥OC，
∠EOC是二面角E-BD-C的平面角
（∠EOA是二面角E-BD-A的平面角）
在RT△POC中，可求得OC=

2

，PC=2
在△EOC中，OC=

2

，CE=1，OE=

1

2

PA=1
∴∠EOC=45°∴∠EOA=135°，即二面角E-BD-A大小为135°．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，利用题中的条件证明线面平行与面面垂直问题，也有利于找到二面角的平面角进而得到答案．