Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=，证明：x，y，z∈[0，]．

Answer 1

证法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=，得x²+y²+（1-x-y）²=，整理成关于y的一元二次方程得：
2y²-2（1-x）y+2x²-2x+=0，∵y∈R，故△≥0
∴4（1-x）²-4×2（2x²-2x+）≥0，得0≤x≤，∴x∈[0，]
同理可得y，z∈[0，]
证法二：设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，
于是=（+x′）²+（+y′）²+（+z′）²
=+x′²+y′²+z′²+（x′+y′+z′）
=+x′²+y′²+z′²≥+x′²+=+x′²
故x′²≤，x′∈[-，]，x∈[0，]，
同理y，z∈[0，]
证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x²＞0，=x²+y²+z²≥x²+，矛盾．
x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x＞，则=x²+y²+z²≥x²+=x²+=x²-x+
=x（x-）+＞，矛盾．
故x、y、z∈[0，]
分析：证法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=，得x²+y²+（1-x-y）²=，整理成关于y的一元二次方程得：2y²-2（1-x）y+2x²-2x+=0，根据y∈R，故△≥0；
证法二：构造新变量．设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，于是=x²+y²+z²=+x′²，从而可证；
证法三：反证法．设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x²＞0，=x²+y²+z²≥x²+＞，矛盾；x、y、z三数中若有最大者大于，同理可得．
点评：本题以条件等式为载体，考查不等式的证明，考查反证法的运用，考查构造法证明不等式，综合性强．