Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-

kx

x+1

（k为常数）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在x∈（0，1）时恒成立．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，通过讨论x的范围与定义域的关系，求出递增区间和递减区间
（2）通过构造函数g（x），利用导函数研究g（x）的单调性，利用函数的单调性，求出函数的最小值，不等式得证．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f'（x）=

1

x+1

-

k

(x+1)2

=

x-(k-1)

(x+1)2

（2分）
令f'（x）＞0得：x＞k-1
当k-1≤-1即k≤0时，f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）（3分）
当k-1＞-1即k＞0时，f（x）的单调递减区间是（-1，k-1），f（x）的单调递增区间是（k-1，+∞）（5分）
（2）当x∈（0，1）时，原不等式等价于ln（x+1）

x+2

x+1

＞2．
令g（x）=ln（x+1）+

x+2

x+1

，g′(x)=

1

x+1

-

1

(x-1)2

=

x

(x+1)2

（7分）
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是单调递增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在区间（0，1）上恒成立．（12分）

点评：本题考查利用导函数求函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值、通过构造函数证明不等式、分类讨论的数学思想方法在解题中的应用．