Question

在公差不为0的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃；
（1）求{a_n}的公差d和{b_n}的公比q；
（2）设c_n=a_n+b_n+2，求数列{c_n}的通项公式c_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）、根据等差数列和等比数列性质以及题中的已知条件便可求出{a_n}的公差d和{b_n}的公比q；
（2）、根据（1）中求得的d与q的值分别求出等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的通项公式，进而求得数列{c_n}的通项公式以及前n项和S_n的表达式．

解答：解：（1）由

a2=b2 a8=b3 a1=b1=1

得

1+d=q 1+7d=q2

（3分）
∴（1+d）²=1+7d，即，d²=5d，
又∵d≠0，
∴d=5，从而q=6（6分）
（2）∵a_n=a₁+（n-1）d=5n-4，b_n=b₁q^n-1=6^n-1
∴c_n=a_n+b_n=5n-4+6^n-1+2=6^n-1+5n-2（9分）
从而，Sn=

1-6n

1-6

+

n(3+5n-2)

2

=

6n

5

+

5

2

n2+

1

2

n-

1

5

（12分）

点评：本题结合等差数列和等比数列性质考查了公差d和公比q的求法，考查了学生的运算能力和对函数的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用．