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8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,侧棱与底面所成的角为60°,则此棱锥的高为a;侧棱长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a;侧面与底面所成的角arctan2$\sqrt{3}$.

分析 根据正三棱锥的性质,分别求出三棱锥的高以及侧棱和底面所成的角,以及侧面和底面所成角的平面角,结合三角形的边角关系进行求解即可.

解答 解:∵三棱锥S-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°,
∴过S作SO⊥平面ABC交于点O,延长AO交BC于D.
∴点O是△ABC的中心,
∴AD是等边△ABC的一条高,
连接SD,
则∠SAO是SA与底面ABC所成的角,∠SDO是侧面SBC与底面ABC所成的角.
则∠SAO=60°,
∵正三棱锥S-ABC的底面边长为a,
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∴AO=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a.
∵∠SAO=60°,
∴SA=2AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a,tan60°=$\frac{SO}{AO}$=$\sqrt{3}$,即SO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=a.
OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,
则tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}$=2$\sqrt{3}$,
即∠SDO=arctan2$\sqrt{3}$,
故答案为:a,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a,arctan2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了正三棱锥的性质、线面角、线面垂直的判定与性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,利用空间角的定义转化为平面角是解决本题的关键..

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