Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）ex ， a∈R． （Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）试求f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=1时，求证：对于x∈[﹣5，+∞）， 恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a）ex得f'（x）=（x﹣a+1）ex．

当a=1时，f'（x）=xex，令f'（x）＞0，得x＞0，

所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．

（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．

所以当a﹣1≤1时，x∈[1，2]时f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；

当a﹣1≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；

当1＜a﹣1＜2时，x∈[1，a﹣1）时f'（x）≤0，f（x）单调递减；

x∈（a﹣1，2）时f'（x）＞0，f（x）单调递增．

综上，无论a为何值，当x∈[1，2]时，f（x）最大值都为f（1）或f（2）．

f（1）=（1﹣a）e，f（2）=（2﹣a）e2，

f（1）﹣f（2）=（1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．

所以当 时，f（1）﹣f（2）≥0，f（x）max=f（1）=（1﹣a）e．

当 时，f（1）﹣f（2）＜0， ．

（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xex+1．

所以h'（x）=（x+1）ex．

令h'（x）=（x+1）ex=0，解得x=﹣1，

所以当x∈[﹣5，﹣1），h'（x）＜0，h'（x）单调递减；

当x∈[﹣1，+∞），h'（x）＞0，h'（x）单调递增．

所以当x=﹣1时， ．

所以函数h（x）在[﹣5，+∞）单调递增．

所以 ．

所以x∈[﹣5，+∞）， 恒成立

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最大值是f（1）或f（2），通过作差求出满足f（1）或f（2）最大时a的范围，从而求出f（x）的最大值；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证明结论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．