Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N为PC的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求证：PA∥平面NBD；
（3）求二面角B-AN-C的平面角的大小．

Answer 1

证明：（1）∵ABCD为菱形，
∴BD⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC；
（2）连接NO，∵O为AC的中点，N为PC的中点
∴PA∥NO
又∵PA?平面NBD，ON?平面NBD
∴PA∥平面NBD；
解：（3）由（l）可知，BO⊥平面PAC，
故在平面PAC内，作OM⊥NA，
连接BM（如图），则∠BMO为二面角B-AN-C的平面角．
在RT△BMO中，易知AO=，OM=
∴tan∠BMO=，
即二面角B-AN-C的正切值为
分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，结合菱形的性质及线面垂直的性质，我们可得BD⊥AC且BD⊥PA，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（2）连接NO，由三角形的中位线定理，我们可得PA∥NO，由线面平行的判定定理，即可得到答案．
（3）由（1）的结论，作OM⊥NA，连接BM，可得∠BMO为二面角B-AN-C的平面角，解RT△BMO，即可得到二面角B-AN-C的平面角的大小．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BD⊥AC且BD⊥PA，（2）的关键是证得PA∥NO，（3）的关键是找到二面角B-AN-C的平面角∠BMO．