Question

正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y²上，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成45⁰角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．

解答：解：∵C，D两点在抛物线上，
∴可设C（s²，s），D（t²，，t），
又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成45⁰角，
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与边AB也成45⁰角，
∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，
∴可设A（s²，s²+4），B（t-4，t）
∵AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，所以有

t-s t2-s2 =1 (s2+4)+s 2 =t

解得

s1=-1 t1=2

s2=-2 t2=3

∴面积S₁=|C₁D₁|²=[（-1）²-2²]²+[（-1）-2]²=18，
S₂=|C₂D₂|²=[（-1）²-3²]²+[（-1）-3]²=50．
答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的分析推理和数形结合思想的灵活运用．