Question

已知x₀是f(x)=(

1

2

)x+

1

x

的一个零点，x₁∈（-∞，x₀），x₂∈（x₀，0），则（　　）

A．f（x₁）＜0，f（x₂）＜0

B．f（x₁）＞0，f（x₂）＞0

C．f（x₁）＞0，f（x₂）＜0

D．f（x₁）＜0，f（x₂）＞0

Answer 1

分析：已知x₀是f(x)=(

1

2

)x+

1

x

的一个零点，可令h（x）=(

1

2

)x，g（x）=-

1

x

，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；

解答：解：∵已知x₀是f(x)=(

1

2

)x+

1

x

的一个零点，x₁∈（-∞，x₀），x₂∈（x₀，0），
可令h（x）=(

1

2

)x，g（x）=-

1

x

，
如下图：
当0＞x＞x₀，时g（x）＞h（x），h（x）-g（x）=(

1

2

)x+

1

x

＜0；
当x＜x₀时，g（x）＜h（x），h（x）-g（x）=(

1

2

)x+

1

x

＞0；
∵x₁∈（-∞，x₀），x₂∈（x₀，0），
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＜0，
故选C；

点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是高考的热点问题，是一道基础题；