Question

（2009•上海模拟）某同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；
②若f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有

①②

．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：①因为f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)是奇函数，所以f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；②可以定义证明f（x）为单调递增函数，所以f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂成立；③因为f（x）为单调递增函数，所以方程|f（x）|=m不可能有两个不等的实数根；④可以判断g（x）为奇函数，并且g（x）在（-∞，0）上单调递减，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上单调递减，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函数g（x）=f（x）-x在R上只有一个零点．

解答：解：由题意知
①因为f(-x)=

-x

1+|-x|

=-(

x

1+|x|

)=-f(x)(x∈R)，所以f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)是奇函数，故f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立，即①正确；
②则当x＞0时，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，从而f（x）为单调递增函数，
所以f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂成立，故命题错误；
③因为f（x）为单调递增函数，所以|f（x）|为偶函数，因为f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且0≤|f（x）|＜1，所以当0＜m＜1时有两个不相等的实数根，当m≥1时不可能有两个不等的实数根，故本命题错误；
④可以判断g（x）为奇函数，并且g（x）在（-∞，0）上单调递减，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上单调递减，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点．错误
故答案为：①②．

点评：本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．