Question

（2013•汕头二模）关于二项式（x-1）²⁰¹³有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；
（2）该二项展开式中第六项为

C

6 2013

x2007；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当x=2014时，（x-1）²⁰¹³除以2014的余数是2013．
其中正确命题有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用赋值求出各项系数和，判断出命题（1）正确；利用二项展开式的通项公式求出第六项，判断出命题（2）错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题（3）正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题（4）正确．

解答：解：此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为-1，故（1）正确；
其第六项T₆=C₂₀₁₃⁵x^2013-5•（-1）⁵=-C₂₀₁₃⁵x²⁰⁰⁸，故（2）错；
该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故（3）正确；
（x-1）²⁰¹³=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²x）-1=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²-1）x+x-1．当x=2014时，被2014除的余数为2014-1=2013．故（4）正确．
其中正确命题有3个．
故选C．

点评：本题考查求展开式的系数和的方法是赋值法，考查二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，考查展开式的二项式系数的性质．属于中档题．