Question

一分组数列如下表
第一行　　　　　　　　　　　　　　 1
第二行　　　　　　　　　　　　　2　　　 4
第三行　　　　　　　　　　 2　　　　3　　　　4
第四行　　　　　　　　 8　　　 16　　　 32　　　 64
第五行　　　　　　 5　　　　6　　　 7　　　　8　　　 9
第六行　　　　 128　　 256　　 512　　 1024　　 2048　　4096
现用a_i，j表示第i行的第j个数．
（1）求a_2n+1，a_2n-1，1；
（2）8192为第几行的第几个数？

Answer 1

解：（1）由表可知，其奇数行是数列{n}的顺次排列，
偶数行是等比数列{2ⁿ}的顺次排列．
第2n行之前的偶数行共n-1行，第2m行共2m个数．
∴前2n-2行共，
∴a_2n，1=2^n（n-1）+1
同理
（2）若8192在偶数行a_6，6=4096∴a_8，1=8192．
另若8192在奇数行a_2n-1，1=（n-1）²+1，
8101=（91-1）²+1＜8192＜（92-1）²+1=8282
∴8192位于第181行，a_181，1=8101∴是第92个
∴8192可位于第8行第一个，也可位于181行，第92个数
分析：（1）由表可知，其奇数行是数列{n}的顺次排列，偶数行是等比数列{2ⁿ}的顺次排列．第2n行之前的偶数行共n-1行，第2m行共2m个数．由此能求出a_2n+1，a_2n-1，1；
（2）由8192在偶数行a_6，6=4096，知a_8，1=8192．由8192在奇数行a_2n-1，1=（n-1）²+1，8101=（91-1）²+1＜8192＜（92-1）²+1=8282，由此能求出8192可位于第8行第一个，也可位于181行，第92个数．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．