练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    证明下列不等式：
    （1）a，b都是正数，且a+b=1，求证：(1+
    1
    a
    )(1+
    1
    b
    )≥9    ；
    （2）设实数x，y满足y+x2=0，且0＜a＜1，求证：loga(ax+ay)＜
    1
    8
    +loga2    ．
    分析：（1）由题设知左=(1+
    a+b
    a
    )(1+
    a+b
    b
    )=(2+
    b
    a
    )(2+
    a
    b
    )=5+2(
    b
    a
    +
    a
    b
    )    ≥9．
    （2）由题设知ax+ay≥2
    		ax+y
    ，由0＜a＜1，知loga(ax+ay)≤loga2
    		ax+y
    =
    1
    2
    logaax+y+loga2=
    1
    2
    (x+y)+loga2    ，由此能够证明loga(ax+ay)＜
    1
    8
    +loga2    ．
    解答：证明（1）左=(1+
    a+b
    a
    )(1+
    a+b
    b
    )=(2+
    b
    a
    )(2+
    a
    b
    )=5+2(
    b
    a
    +
    a
    b
    )    （3分）
    因为a＞0，b＞0，所以
    b
    a
    +
    a
    b
    ≥2    （5分）
    所以左=(1+
    a+b
    a
    )(1+
    a+b
    b
    )=(2+
    b
    a
    )(2+
    a
    b
    )=5+2(
    b
    a
    +
    a
    b
    )≥9    （7分）
    （2）∵ax＞0，ay＞0，
    ∴ax+ay≥2
    		ax+y
    （9分）
    又∵0＜a＜1，
    ∴loga(ax+ay)≤loga2
    		ax+y
    =
    1
    2
    logaax+y+loga2=
    1
    2
    (x+y)+loga2    （12分）
    因为y+x2=0，
    ∴loga(ax+ay)=
    1
    2
    (x-x2)+loga2=-
    1
    2
    (x-
    1
    2
    )2+
    1
    8
    +loga2≤
    1
    8
    +loga2
    即原不等式得证..（14分）
    点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意均值不等式的合理运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明下列不等式．
    （1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（
    1
    a
    +
    1
    b
    +
    1
    c
    ）≥9．
    （2）已知n≥0，试用分析法证明：
    		n+2
    -
    		n+1
    ＜
    		n+1
    -
    		n
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明下列不等式：
    （1）对任意的正实数a，b，有
    1
    1+a
    ≥
    1
    1+b
    -
    a-b
    (1+b)2
    ；
    （2）
    C
    0
    n
    •
    50
    50+1
    +
    C
    1
    n
    •
    51
    51+1
    +
    C
    2
    n
    •
    52
    52+1
    +…+
    C
    n
    n
    •
    5n
    5n+1
    ≥
    2n•5n
    3n+5n
    ，n∈N．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•太原模拟）证明下列不等式：
    （1）用分析法证明：
    		3
    +
    		8
    ＞1+
    		10
    ；
    （2）已知a，b，c是不全相等的正数，证明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明下列不等式：
    （1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则
    b+c
    a
    x2+
    c+a
    b
    y2+
    a+b
    c
    z2≥2（xy+yz+zx）
    （2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则
    y+z
    x
    +
    z+x
    y
    +
    x+y
    z
    ≥2（
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案