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已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R).
(1)求函数|f(x)|的单调区间;
(2)对于一切a∈[0,1],若存在实数m,使得数学公式数学公式能同时成立,求b-a的取值范围.

解:(1)∵f(x)=x2+2ax+b=(x+a)2+a2-b
∴①当a2-b≥0时,单调区间为:(-∞,-a]上为减,[-a,+∞)上为增;(2分)
②当a2-b<0时,单调区间为:减,
增,减,增(5分)
(2)①当 时,由方程 ,解得
此时 ,此时不满足存在实数m,使得能同时成立.(8分)
②当 时,由方程 ,解得
此时 ,满足存在实数m,使得能同时成立.(11分),此时有,故对一切a∈[0,1]都成立,由此解得b-a∈[-,-]
③当 时,对一切a∈[0,1],都不存在实数m,使得能同时成立.
综上得b-a∈[-,-](16分)
分析:(1)f(x)=(x+a)2+a2-b开口向上,但a2-b的正负不定,所以在取绝对值时要分类讨论.在每一种情况下分别求|f(x)|的单调区间.
(2)存在实数m,使得 同时成立,即为两变量对应的函数值都小于等于 的两变量之间间隔不超过1,故须对a2-b和 的大小分情况讨论,求出a2-b的取值范围,进而求得b-a的取值范围.
点评:点评:本题考查了数学上的分类讨论思想.分类讨论目的是,分解问题难度,化整为零,各个击破.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的函数f(x)=-
1
3
x3+bx2+cx+bc,其导函数为f′(x).令g(x)=|f′(x)|,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-
4
3
,试确定b、c的值:
(Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的函数f(x)=-
1
3
x3
+bx2+cx+bc,如果函数f(x)在x=1处有极值-
4
3
,试确定b、c的值.

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已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a,b∈R)
(Ⅰ)求函数|f(x)|的单调区间;
(Ⅱ)令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤
1
4
与|f(m+1)|≤
1
4
同时成立,求t的最大值.

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已知关于x的函数f(x)=mx-1,(其中m>1),设a>b>c>1,则
f(a)
a
f(b)
b
f(c)
c
的大小关系是(  )

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已知关于x的函数f(x)=(-2a+3b-5)x+8a-5b-1.如果x∈[-1,1]时,其图象恒在x轴的上方,则
b
a
的取值范围是
(-∞,
3
2
)∪(3,+∞)
(-∞,
3
2
)∪(3,+∞)

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