Question

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4

10

．
（1）求圆P的方程；
（2）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为k_AB=1，AB的中点坐标为（1，2），所以直线CD的方程为y-2=-（x-1），设圆心P（a，b），则由P在CD上得a+b-3=0，由此能求出圆P的方程．
（2）因为|AB|=

42+42

=4

2

，所以当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2

．又圆心到直线AB的距离为4

2

，圆P的半径r=2

10

，且2

10

-4

2

＜2

2

，由此知圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8．

解答：解：（1）因为k_AB=1，AB的中点坐标为（1，2），所以直线CD的方程为y-2=-（x-1），
即x+y-3=0．（3分）
设圆心P（a，b），则由P在CD上得a+b-3=0．①
又直径|CD|=4

10

，所以|PA|=2

10

，所以（a+1）²+b²=40．②
①代入②消去a得-4b-12=0，解得b=6或b=-2．
当b=6时，a=-3；当b=-2时，a=5，所以圆心P（-3，6）或P（5，-2），所以圆P的方程为（x+3）²+（y-6）²=40或(x-5)2；+(y+2)2=40．（8分）
（2）因为|AB|=

42+42

=4

2

，所以当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2

．（10分）
又圆心到直线AB的距离为4

2

，圆P的半径r=2

10

，且2

10

-4

2

＜2

2

，
所以圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8．（15分）

点评：本题考查直线和圆的性质和应用，解题时要注意直线和圆的位置关系的合理运用．