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如图,已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P.

(1)若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d(0<d<2r),试求:四边形ABCD面积的最大值;
(2)试探究:当点P运动到什么位置时,四边形ABCD的面积取得最大值,最大值为多少?
(3)对于之前小题的研究结论,我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2,设平面直角坐标系中,已知椭圆(a>b>0)的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P.试提出一个由类比获得的猜想,并尝试给予证明或反例否定.
【答案】分析:(1)因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积,由于|AC|=d为定长,当|BD|最大时,四边形ABCD面积S取得最大值.由圆的性质,垂直于AC的弦中,直径最长,由此能求出四边形ABCD面积的最大值.
(2)由题意,当点P运动到与圆心M重合时,对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r,由此能求出四边形ABCD面积S取得最大值,最大值为2r2
(3)类比猜想1:若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时,当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时,该椭圆内接四边形面积最大;类比猜想2:当点P在椭圆中心时,对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大;以上两个均为正确的猜想,要证明以上两个猜想,都需先证:椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长最大.类比猜想3:当点P•在椭圆中心,且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时,四边形面积取得最大值2ab.要证明此猜想,也需先证“椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长最大.”
解答:解:(1)因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积
而由于|AC|=d为定长,
则当|BD|最大时,四边形ABCD面积S取得最大值.由圆的性质,垂直于AC的弦中,直径最长,
故当且仅当BD过圆心M时,四边形ABCD面积S取得最大值,最大值为dr.
(2)由题意,不难发现,当点P运动到与圆心M重合时,对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r,
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值,最大值为2r2
(3)类比猜想1:若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时,当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时,该椭圆内接四边形面积最大.
类比猜想2:当点P在椭圆中心时,对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大.
以上两个均为正确的猜想,要证明以上两个猜想,都需先证:椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长最大.
证:设椭圆的方程为(a>b>0),平行弦MN的方程为y=kx+m,
联立可得b2x2+a2(kx+m)2-a2b2=0⇒(b2+a2k2)x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0
不妨设M(x1,y1)、N(x2,y2),

=
=
=
由于平行弦的斜率k保持不变,故可知当且仅当m=0时,即当直线经过原点时,
|MN|取得最大值(*).特别地,当斜率不存在时,此结论也成立.
由以上结论可知,类比猜想一正确.又对于椭圆内任意一点P构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形,我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心O重合的椭圆内接四边形A1B1C1D1,而其中|AC|≤|A1C1|,|BD|≤|B1D1|,
所以必有.即证明了猜想二也是正确的.
类比猜想3:当点P•在椭圆中心,且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时,四边形面积取得最大值2ab.
要证明此猜想,也需先证“椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长最大.”在此基础上,可参考以下两种续证方法.
证法一:当点P在椭圆中心时,不妨设对角线AC所在直线的斜率为k.
(i)当k=0时,AC即为椭圆长轴,又AC⊥BD,故BD是椭圆的短轴.
所以此时椭圆内接四边形ABCD的面积为SABCD=2ab.
(ii)当k≠0时,对角线BD的斜率为.由此前证明过程中的(*)可知,
若将代换式中的k,则可得弦BD的长度,
所以,
=
=
=
=
由k2+1>1⇒

综上(i)和(ii),故可证明猜想三正确.
证法二:如图,四边形对角线交点P与椭圆中心重合.

由对称性,不妨设椭圆上的点A的坐标为(acosα,bsinα),
相邻的点B坐标为(acosβ,bsinβ),.由对称性可知,
且当时,SABCD取得最大值2ab.
又因为OA⊥OB,故

所以
故只有当sin2α=0时才满足,
而因为
故只有当α=0时成立.即由椭圆参数方程的定义,当且仅当点A和点B分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时,猜想3正确.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行类比猜想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,
AEC
是半径为a的半圆,AC为直径,点E为
AC
的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB=FD=
5
a
EF=
6
a

(1)证明:EB⊥FD;
(2)已知点Q,R为线段FE,FB上的点,FQ=
2
3
FE
FR=
2
3
FB
,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P.
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(1)若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d(0<d<2r),试求:四边形ABCD面积的最大值;
(2)试探究:当点P运动到什么位置时,四边形ABCD的面积取得最大值,最大值为多少?
(3)对于之前小题的研究结论,我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2,设平面直角坐标系中,已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P.试提出一个由类比获得的猜想,并尝试给予证明或反例否定.

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科目:高中数学 来源:2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)数学(理科) 题型:解答题

如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .

图5

    (1)证明:EB⊥FD;

(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值

 

 

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科目:高中数学 来源:2011年上海普陀区高考数学三模试卷(文理合卷)(解析版) 题型:解答题

如图,已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P.

(1)若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d(0<d<2r),试求:四边形ABCD面积的最大值;
(2)试探究:当点P运动到什么位置时,四边形ABCD的面积取得最大值,最大值为多少?
(3)对于之前小题的研究结论,我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2,设平面直角坐标系中,已知椭圆(a>b>0)的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P.试提出一个由类比获得的猜想,并尝试给予证明或反例否定.

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