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设直线y=ax+b与双曲线3x2-y2=1交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点P(a,b)的轨迹方程.
y=ax+b
3x2-y2=1

消去y得:(a2-3)x2+2abx+b2+1=0.
∵直线与双曲线交于A、B两点,
a2-3≠0
△>0
,解得a2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=
2ab
3-a2
,x1•x2=
b2+1
a2-3

∴y1•y2=(ax1+b)(ax2+b)=a2x1x2+ab(x1+x2)+b2
又∵以AB为直径的圆过原点,
OA
OB
,得x1x2+y1y2=0,
由此可得x1x2+[a2x1x2+ab(x1+x2)+b2]=0,
即(1+a2)x1x2+ab(x1+x2)+b2=0,
可得:(1+a2)•
b2+1
a2-3
-ab•
2ab
3-a2
+b2=0,化简得:a2-2b2=-1.
因此,点P(a,b)的轨迹方程为x2-2y2=-1,即2y2-x2=1(x2<3).
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(1)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-
1
3
.求动点P的轨迹方程.
(2)
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率为2,原点到直线AB的距离为
3
2
,其中A(0,-b)、B(a,0)求该双曲线的标准方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若M、N为两个定点且|MN|=6,动点P满足
PM
PN
=0,则P点的轨迹是(  )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

平面上动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点M(4,0)的直线与点P的轨迹交于A,B两点,求
OA
OB
的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,已知定点A(1,0),定圆C:(x+1)2+y2=8,M为圆C上的一个动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足
AM
=2
AP
NP
AM
=0
,则点N的轨迹方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在平面斜坐标系xoy中∠xoy=45°,点P的斜坐标定义为:“若
OP
=x0
e1
+y0
e2
(其中,
e1
e2
分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0)且动点M(x,y)满足|
MF1
|=|
MF2
|,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为(  )
A.x=0B.y=0C.
2
x+y=0
D.
2
x-y=0

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一动圆和直线l:x=-
1
2
相切,并且经过点F(
1
2
,0)

(Ⅰ)求动圆的圆心θ的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点P(2,0)且斜率为k的直线交曲线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
求证:OM⊥ON.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知O是坐标原点,点A(2,0),△AOC的顶点C在曲线y2=4(x-1)上,那么△AOC的重心G的轨迹方程是(  )
A.3y2=4(x-1)B.3y2=4(x-1)(y≠0)
C.
y2
3
=4(x-1)
D.
y2
3
=4(x-1)(y≠0)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆的弦的中点为,则弦所在直线的方程是           .

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