Question

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，右焦点F（1，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）过F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆基础定义与基本参数意义即可列出方程式；
（2）设h：y=x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切，联立得：9x²+10mx+5m²-10=0；
即h：y=x+3时直线l与h的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，椭圆上动点P到直线L：y=x-1的最大距离，即为△PAB高的最大值；

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=5}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设h：y=x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相切，联立得：9x²+10mx+5m²-10=0；
∴△=0 得：m²=9，当m=3时，即h：y=x+3时直线l与h的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
即为椭圆上动点P到直线L：y=x-1的最大距离，亦即为△PAB高的最大值，
∴S_△PAB max=$\frac{1}{2}$|AB|d_max=$\frac{1}{2}×\frac{16\sqrt{5}}{9}×\frac{4}{\sqrt{2}}$=$\frac{16\sqrt{10}}{9}$．

点评 本题主要考查了椭圆基本定义与参数，以及直线与椭圆关系综合知识点，属中等题．