Question

已知点M（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线E：y²=2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F．有以下命题：
①抛物线E的通径长为2p；
②若以M为切点的抛物线E的切线为l，则直线y=y₀与直线l所成的夹角和直线MF与直线l所成的夹角相等；
③若2p=1，且△MON（O为坐标原点，N在抛物线E上）为正三角形，则|MN|=4

3

；
④若2p=1，b∈(

3

4

，+∞)，则抛物线E上一定存在两点关于直线y=-x+b对称．
其中你认为正确的所有命题的序号为

①②④

．

Answer 1

分析：①抛物线的焦点坐标为(

p

2

，0)，当x=

p

2

时，y=±p，故可求抛物线E的通径长；
②求出切线的斜率，直线MF的斜率，直线y=y₀的斜率，利用夹角公式可知结论正确；
③由题意，M，N关于x轴对称，设直线OM的方程为y=

3

3

x，即x=

3

y，代入抛物线E：y²=x，求得M的纵坐标，即可判断；
④假设抛物线上的两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），这两点所在直线（设为y=x+a），应与y=-x+b这条直线垂直，且中点在直线y=-x+b上，即可求解．

解答：解：①抛物线的焦点坐标为(

p

2

，0)，当x=

p

2

时，y=±p，∴抛物线E的通径长为2p，故①正确；
②不妨设y₀＞0，则y=

2px

，求导函数可得y′=

p 2x

，∴切线的斜率为

p 2x0

=

p

y0

，由于直线MF的斜率为

y0

x0- p 2

，直线y=y₀的斜率为0，利用夹角公式可知直线y=y₀与直线l所成的夹角和直线MF与直线l所成的夹角相等，故②正确；
③由题意，M，N关于x轴对称，设直线OM的方程为y=

3

3

x，即x=

3

y，代入抛物线E：y²=x，所以y=

3

，∴|MN|=2

3

，故③不正确；
④假设抛物线上的两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），这两点所在直线（设为y=x+a），应与y=-x+b这条直线垂直，且中点在直线y=-x+b上．
联立方程y=x+a，y²=x：得到x²+（2a-1）x+a²=0，∴1-4a＞0，∴a＜

1

4

∵x₁+x₂=1-2a，y₁+y₂=1，∴中点（

1-2a

2

，

1

2

），代入直线y=-x+b得到

1

2

=-

1-2a

2

+b
∴a+b=1，∴1-b＜

1

4

，∴b＞

3

4

故④正确
故答案为：①②④

点评：本题考查抛物线的性质，考查对称性，解题的关键是利用抛物线方程，逐个判断，属于中档题．