分析 求导数可得f′(x)=6(x-a)(x-1),令f′(x)=0,得x1=a,x2=1,由单调性和导数正负的关系分类讨论可得.
解答 解:∵f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,
∴f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),
令f′(x)=0,得x1=a,x2=1.
(1)当a<1时,则x<a或x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上是增函数.
故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上是增函数.
(2)当a≥1时,则x<1或x>a时,f′(x)>0.
∴f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上是增函数.
∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.
综上可知,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上是增函数.
点评 本题考查导数和函数的单调性,涉及分类讨论的思想,属中档题.
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