Question

14．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R），若f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求导数可得f′（x）=6（x-a）（x-1），令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=1，由单调性和导数正负的关系分类讨论可得．

解答 解：∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=1．
（1）当a＜1时，则x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上是增函数．
故当0≤a＜1时，f（x）在（-∞，0）上是增函数．
（2）当a≥1时，则x＜1或x＞a时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上是增函数．
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．
综上可知，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评 本题考查导数和函数的单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题．