Question

14．设数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{1+{a_n}}}+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）变形可得：b_n=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）$＞2-（\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$）． 利用“裂项求和”及其“放缩法”即可得出．

解答 （I）解：当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，
相减得${2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}$
∴当n≥2时，${a_n}=\frac{1}{2^n}$．
当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$也满足上式，
所求通项公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$．
（Ⅱ）证明：${b_n}=\frac{1}{{1+{{（\frac{1}{2}）}^n}}}+\frac{1}{{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}}=\frac{2^n}{{{2^n}+1}}+\frac{{{2^{n+1}}}}{{{2^{n+1}}-1}}$
=$\frac{{{2^n}+1-1}}{{{2^n}+1}}$+$\frac{{{2^{n+1}}-1+1}}{{{2^{n+1}}-1}}$=$1-\frac{1}{{{2^n}+1}}$+1+$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）． 
由$\frac{1}{{{2^n}+1}}＜\frac{1}{2^n}$，$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
得$\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$$＜\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．
∴b_n=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）$＞2-（\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$）．  
从而${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}＞[2-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）]+[2-（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+[2-（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$=$2n-[（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）+（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$=$2n-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）＞2n-\frac{1}{2}$，
即T_n＞$2n-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”及其“放缩法”、不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．