Question

若x＜1，则x+

1

x-1

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：法一：令f（x）=x+

1

x-1

，x＜1．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
法二：变形利用基本不等式的性质即可．

解答： 解：法一：令f（x）=x+

1

x-1

，x＜1．
则f′（x）=1-

1

(x-1)2

，
令f′（x）=0，∵x＜1，∴x=0．
当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=0时，函数f（x）取得极大值，即最大值，且为f（0）=-1．
法二：∵x＜1，∴1-x＞0．
∴x+

1

x-1

=-[（-x+1）+

1

1-x

-1]≤-（2

(1-x)• 1 1-x

-1）=-1，
当且仅当x=0时取等号．
因此x+

1

x-1

的最大值是-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，以及运用基本不等式求最值，属于基础题．