Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB ，  AB=2 ，  EB=

3

 ，  EF=1 ，BC=

13

且M是BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；
（2）取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角，从而可求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-AF-B的大小．

解答：解：（1）取AD的中点N，连接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB．
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，∴MN∥EF且MN=EF，
∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF；
（2）取AB中点G，连接FG，DG，则FG∥EB，FG=

3

∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角
∵BC=

13

，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3
∵BG=1，∴DG=

10

∴tan∠FDG=

FG

DG

=

3

10

=

30

10

；
（3）因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz．
由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F（0，1，

3

）
∴

AD

=（3，-2，0），

AF

=（0，-1，

3

）．
设平面ADF的一个法向量是

n

=（x，y，z）．
由

n • AD =0 n • AF =0

，得

3x-3y=0 -y+ 3 z=0

，令y=3，则

n

=（2，3，

3

）
因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
∴

BD

=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量．
∴cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n || BD |

=

1

2

∵二面角D-AF-B为锐角，
∴二面角D-AF-B的大小为60°

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．