Question

1．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），则a_n=（2n-1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 通过将等式a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2）两边同时除以2ⁿ、整理可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$+$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+2，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ，
故答案为：（2n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．