Question

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求的值；    
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，求得A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），从而可求得=（1，-1，2），=（0，1，2），•=3，||=，||=，于是可求得cos＜，＞的值．
（2）利用向量的坐标运算可求得•=0，•=0，C₁M∩C₁N=C₁，由线面垂直的判定定理即可证得结论．
解答：解：以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，
（1）依题意，A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），
∴=（1，-1，2），=（0，1，2），
∴•=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又||=，||=，
∴cos＜，＞==…6分
证明：（2）A₁（1，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（，，2），∴=（，，2），=（1，0，-1），=（1，-1，1），
∴•=×1+×（-1）+1×0=0，同理可求•=0，
∴⊥，⊥，C₁M∩C₁N=C₁，
∴BN⊥平面C₁MN…12分．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线及其所成的角，建立空间直角坐标系求得所需各点与向量的坐标是关键，考查分析与运算能力，空间转化的能力，属于中档题．