【题目】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.
(1)证明:B﹣A= ;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
【答案】
(1)解:由a=btanA和正弦定理可得 =
=
,
∴sinB=cosA,即sinB=sin( +A)
又B为钝角,∴ +A∈(
,π),
∴B= +A,∴B﹣A=
;
(2)解:由(1)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ +A)=
﹣2A>0,
∴A∈(0, ),∴sinA+sinC=sinA+sin(
﹣2A)
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2(sinA﹣ )2+
,
∵A∈(0, ),∴0<sinA<
,
∴由二次函数可知 <﹣2(sinA﹣
)2+
≤
∴sinA+sinC的取值范围为( ,
]
【解析】(1)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(2)由题意可得A∈(0, ),可得0<sinA<
,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣
)2+
,由二次函数区间的最值可得.
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【题目】设,向量
分别为平面直角坐标内
轴正方向上的单位向量,若向量
,
, ,且
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设椭圆,曲线
的切线
交椭圆
于
、
两点,试证:
的面积为定值.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,
为
上一点,
、
为椭圆
的两焦点,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆,曲线
的切线
交椭圆
于
、
两点,试证:
的面积为定值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(a+b,sinA﹣sinC),且
=(c,sinA﹣sinB),且
∥
.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=8,求AC边上中线长的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=asin(x+ )﹣b(a>0)的最大值为2,最小值为0.
(1)求a、b的值;
(2)利用列表法画出函数在一个周期内的图象.
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【题目】要得到函数y=3cos(2x﹣ )的图象,可以将函数y=3sin2x的图象( )
A.沿x轴向左平移 单位
B.沿x轴向右平移 单位
C.沿x轴向左平移 单位
D.沿x轴向右平移 单位
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【题目】在△ABC中,已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长,且b2+c2﹣a2=bc
(1)求角A的大小;
(2)若sin2A+sin2B=sin2C,试判断△ABC的形状并求角B的大小.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1 .
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的角.
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