分析 (1)将a=4代入f(x),通过讨论x的范围,去掉绝对值,求出函数的导数,得到函数的递减区间即可;
(2)通过讨论x的范围,确定函数f(x)在(0,+∞)有且只有一个零点,问题转化为只需f(x)在(-∞,0)无零点,求出f(x)在(-∞,0)的最大值小于0即可.
解答 解:(1)a=4时,f(x)=x3-2x2+4|x|-5,
x≥0时,f(x)=x3-2x2+4x-5,
f′(x)=3x2-4x+4,△<0,
∴f′(x)>0在[0,+∞)恒成立,f(x)递增;
x<0时,f(x)=x3-2x2-4x-5,
f′(x)=3x2-4x-4,
△=64,
令f′(x)<0,解得:-$\frac{2}{3}$<x<0,
∴f(x)在(-$\frac{2}{3}$,0)递减;
(2)x≥0时,f(x)=x3$-\sqrt{a}$x2+ax-5(a≥0),
f′(x)=3x2-2$\sqrt{a}$x+a,△=-8a<0,
f(x)在[0,+∞)递增,而f(0)=-5<0,x→+∞时,f(x)→+∞,
∴f(x)在(0,+∞)有且只有一个零点,
若函数f(x)有且只有一个零点,
只需f(x)在(-∞,0)无零点,
x<0时,f(x)=x3$-\sqrt{a}$x2-ax-5(a≥0),
f′(x)=3x2-2$\sqrt{a}$x-a,△=16a>0,
令f′(x)>0,解得:x<-$\frac{\sqrt{a}}{3}$,令f′(x)<0,解得:-$\frac{\sqrt{a}}{3}$<x<0,
∴f(x)在(-∞,-$\frac{\sqrt{a}}{3}$)递增,在(-$\frac{\sqrt{a}}{3}$,0)递减,
∴x<0时,f(x)max=f(-$\frac{\sqrt{a}}{3}$)=$\frac{5a\sqrt{a}}{27}$-5<0,
解得:a<3,
故函数f(x)有且只有一个零点时,0≤a<3.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 关于x轴对称的图形 | B. | 关于y轴对称的图形 | ||
C. | 关于原点对称的图形 | D. | 关于直线y=x对称的图形 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,3] | B. | (-∞,-3] | C. | [-3,+∞) | D. | (-3,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (a-1)(b-1)>0 | B. | 0<a+b<2 | C. | ab>1 | D. | 0<ab<1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$ | B. | 2-a<2-b | C. | a2>b2 | D. | ac≥bc |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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