Question

15．已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，能求出结果．

解答 解：∵A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，5），
设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-3x+5z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$），
∴平面ABC的一个单位法向量为$\overrightarrow{m}$=$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{20\sqrt{769}}{769}$（1，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$）=（$\frac{20\sqrt{769}}{769}$，$\frac{15\sqrt{769}}{769}$，$\frac{12\sqrt{769}}{769}$）．

点评 本题考查平面的单位法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．