Question

【题目】如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明平面，结合平面，可得平面平面．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求解.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．

又平面，故平面平面．

（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ）知平面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．

由已知，，所以平面．

又平面平面，故，．

由，可得平面，所以为二面角的平面角，

．从而可得．

所以，，，．

设是平面的法向量，则

，即，

所以可取．

设是平面的法向量，则，

同理可取．则．

故二面角EBCA的余弦值为．