Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（$\sqrt{3}$，2），斜倾角为60°，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）求得直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值．

解答 解：（ 1）由ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$知，ρ²+ρ²sin²θ=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入上式，可得x²+2y²=4，
所以曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）已知直线l过点P（$\sqrt{3}$，2），倾斜角为60°，
所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcos60°}\\{y=2+tsin60°}\end{array}\right.$（t为参数）
即为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的直角坐标方程x²+2y²=4，得：7t²+20$\sqrt{3}$t+28=0，
设A、B两点对应的参数为t₁、t₂，
则t₁t₂=4，故|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用极坐标和直角坐标的关系，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义以及韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于基础题．