Question

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
（理）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上．由此可求出f（x）．
（2）（文）由题意知g（x）=x²+ax+1．由g（x）在（0，2]上递减可得到实数a的取值范围．
（理）由题意知g′（x）=1-

a+1

x2

，g（x）在（0，2]上递减，1-

a+1

x2

≤0在x∈（0，2]时恒成立，由此能够推导出a的范围．

解答：解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上．
∴2-y=-x+

1

-x

+2．
∴y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

．
（2）（文）g（x）=（x+

1

x

）•x+ax，
即g（x）=x²+ax+1．
g（x）在（0，2]上递减?-

a

2

≥2，
∴a≤-4．
（理）g（x）=x+

a+1

x

．
∵g′（x）=1-

a+1

x2

，g（x）在（0，2]上递减，
∴1-

a+1

x2

≤0在x∈（0，2]时恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2]时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．