Question

8．在△ABC中，角A，B，C分别为三个内角，B=2A，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinB），向量$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA），且向量$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调递增区间及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直得到关于A的等式求出B；
（2）利用（1）的结论，化简三角函数式，求单调区间和最值．

解答 解：（1）由已知B=2A，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinB），向量$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA），且向量$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosAcosB-sinBsinA=cos（A+B）=cos3A=0，所以3A=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx=cos（ωx-$\frac{π}{6}$）+sinωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx+\frac{3}{2}sinωx$=$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{6}）$，（ω＞0），
因为f（x）的最小正周期为π，所以$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2；
所以f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{6}）$，
令2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ$]，所以x∈[$-\frac{2π}{3}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，
所以f（x）的单调递增区间为[$-\frac{2π}{3}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，所以$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的性质的运用；关键是正确化简三角函数式为最简形式，利用正弦函数的性质求单调区间以及最值．