Question

5．已知函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}-\sqrt{3}$sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若α为第二象限角，且$f（α-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$，求$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数f（x），利用正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）根据α为第二象限角，且$f（α-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$，求出sinα、cosα的值，计算$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}-\sqrt{3}$sinx
=2×$\frac{1+cosx}{2}$-$\sqrt{3}$sinx
=cosx-$\sqrt{3}$sinx+$\frac{1}{2}$
=-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+$\frac{1}{2}$
=-2sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
∴函数f（x）的最小正周期为T=2π，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵α为第二象限角，且$f（α-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$，
∴-2sin（α-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=-2sin（α-$\frac{π}{2}$）+$\frac{1}{2}$=2sin（$\frac{π}{2}$-α）=2cosα+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴cosα=-$\frac{1}{12}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{143}}{12}$，
∴$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$=$\frac{{2cos}^{2}α-1}{{2cos}^{2}α-2sinαcosα}$
=$\frac{2{×（-\frac{1}{12}）}^{2}-1}{2{×（-\frac{1}{12}）}^{2}-2×\frac{\sqrt{143}}{12}×（-\frac{1}{12}）}$
=$\frac{-71}{1+\sqrt{143}}$
=-$\frac{\sqrt{143}}{2}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数求值的应用问题，是综合性题目．