Question

已知函数

f(x)=-x|x|+px

．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）当p=2时判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数是奇函数，利用奇函数的定义，证明f（-x）=f（x）即可；
（Ⅱ）函数是单调递增函数，利用单调性的定义证明．当x∈（-1，0）时，f（x）=x²+2x．设-1＜x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，从而可得f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0，问题可证．

解答：（Ⅰ）解：定义域是R，函数是奇函数． 
证明：∵

f(-x)=x|-x|-px=-(-x|x|+px)=-f(x)

∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）解：是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x²+2x
设-1＜x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．

点评：本题综合考查函数的奇偶性与单调性，考查奇偶性、单调性的定义，证明单调性的关键在于作差变形这一步．