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在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)•(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC.
(1)求∠A的值;
(2)求
3
sinB-sinC的最大值.
考点:正弦定理,余弦定理
专题:解三角形
分析:(1)利用正弦定理将(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC转化为边之间的关系,再由余弦定理即可求得求角A的值;
(2)利用(1)中角A=60°,可求得B=120°-C,利用三角函数中的恒等变换可将
3
sinB-sinC转化为关于角C的关系式,从而可求得其最大值.
解答: 解:(1)∵(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,
∴(sinB+sinC)2-sin2A=3sinBsinC,
∴sin2B+sin2C-sin2A-sinBsinC=0,
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R得:b2+c2-a2-bc=0,
又由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccosA,
∴cosA=
1
2
,角A=60°.
(2)∵角A=60°,在△ABC中,A+B+C=180°,
∴B=120°-C,
3
sinB-sinC
=
3
sin(120°-C)-sinC
=
3
3
2
cosC-(-
1
2
)sinC)-sinC
=
3
2
cosC+
3
-1
2
sinC
=
13-2
3
2
sin(C+φ),其中,tanφ=
3
3
-2

∴sin(C+φ)max=1,即
3
sinB-sinC的最大值为
13-2
3
2
点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦定理与余弦定理,突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

1
2
lg2+lg
5
=
 

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已知tan(
π
4
-α)=
1
2
,α∈(0,π).求:
(1)
2sinα-3cosα
3sinα+2cosα

(2)sinα+cosα

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已知复数z1=2-3i,z2=(
1+i
1-i
)2+
2
+
3
i
3
-
2
i

求:(1)z1+
.
z2

(2)z1•z2;          
(3)
z1
z2

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函数f(x)=alg(3-ax),a>0,a≠1在定义域[-1,1]上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A、(1,3)
B、(1,+∞)
C、(3,+∞)
D、(0,1)

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数列{an}中,a1=4,an+1=an2-nan+1
(1)求证:an≥n+2;
(2)求证:
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得
aman
=2a1,则
1
m
+
9
n
的最小值是(  )
A、1B、2C、3D、4

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设数列a1,a2,…,a2015满足性质P:a1+a2+a3+…+a2015=0,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=1.
(Ⅰ)(ⅰ) 若a1,a2,…,a2015是等差数列,求an
(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015
(Ⅱ)求证:a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
2015
a2015
1007
2015

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已知f(x)=sin2x+|sin2x|(x∈R),则下列判断正确的是(  )
A、f(x)是周期为2π的奇函数
B、f(x)是值域为[0,2]周期为π的函数
C、f(x)是周期为2π的偶函数
D、f(x)是值域为[0,1]周期为π的函数

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