Question

【题目】函数的定义域为R，且对任意，有，且当时，

（1）求；

（2）用定义法证明函数在R上是减函数；

（3）若，求在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) ,(2)证明见解析,(3) 在上的最大值为12，最小值为-12．

【解析】

（1）令x＝y＝0f（0）＝0；

（2）令y＝﹣x即可证得f（﹣x）＝﹣f（x），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f（x）是R上的减函数；

（3）利用f（x）在R上是减函数可知f（x）在[﹣3，3]上也是减函数，又f（1）＝﹣4，从而可求得f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

（1）∵函数对于任意总有，

令，得；

（2）证明：令y＝﹣x，则f（﹣x）＝﹣f（x），即函数为奇函数，

在R上任取，则，

，

时，，

，

在R上是减函数．

（3）是R上减函数，

在上也是减函数，

在上的最大值和最小值分别为和，

而，

在上的最大值为12，最小值为-12．