Question

4．已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx，$x∈[0，\frac{π}{2}]$
（1）求f（x）的最小值；
（2）若$f（α）=\frac{3}{4}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性即可得出．
（II）利用三角函数的单调性、同角三角函数的关系式、和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={sin^2}x+sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{sin2x}{2}=\frac{{\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1}}{2}$，
因为$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以$2x-\frac{π}{4}$$∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
当$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，即x=0时，f（x）有最小值0．
（Ⅱ）$f（α）=\frac{{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}}{2}=\frac{3}{4}$，得$sin（2α-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∵$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，$2α-\frac{π}{4}$$∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，又$0＜sin（2α-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$2α-\frac{π}{4}$$∈（0，\frac{π}{4}）$，得$cos（2α-\frac{π}{4}）=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，
$sin2α=sin（2α-\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}[sin（2α-\frac{π}{4}）+cos（2α-\frac{π}{4}）]=\frac{{1+\sqrt{7}}}{4}$．

点评 本题考查了倍角公式、三角函数的单调性、同角三角函数的关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．