Question

在数列{a_n}中a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，则a_n=

2n-1

n

．

Answer 1

分析：由a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，分别令n=1，2，3，依次求出a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

5

3

，a₄=

7

4

，由此猜想a_n=

2n-1

n

．再用数学归纳法证明．

解答：解：∵a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，
a₁=1=

2×1-1

1

=1，
a₂=1+

1

12+1

=1+

1

2

=

3

2

=

2×2-1

2

，
a₃=

3

2

+

1

22+2

=

5

3

=

2×3-1

3

，
a₄=

5

3

+

1

32+3

=

7

4

=

2×4-1

4

，
…
由此猜想a_n=

2n-1

n

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=

2×1-1

1

=1，成立；
②假设当n=k时，a_k=

2k-1

k

，
当n=k+1时，a_k+1=

2k-1

k

+

1

k2+k

=

(2k-1)(k+1)+1

k(k+1)

=

2(k+1)-1

k+1

，也成立．
∴a_n=

2n-1

n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．本题也可由累加法求出通项公式