Question

如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求证：DM∥平面PAC；
（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱锥M-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）在三角形PAB中，利用中位线定理可得DM∥PA，再用线面平等的判定定理可以证出DM∥平面PAC；
（2）在三角形PAB中，根据中线PD=

1

2

AB，证出PA⊥PB．再结合PA⊥PC，利用线面垂直的判定定理证出AP⊥平面PBC，从而得到AP⊥BC．同理，证出BC⊥平面PAC，最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC⊥平面ABC；
（3）根据前面的证明，不难得到DM⊥平面BCM，则DM是三棱锥D-BCM的高，根据题中所给的数据，求出DM=

1

2

PA=5

3

，S△BCM=

1

2

S△PBC=2•

21

，从而得到V_M-BCD=V_D-BCM=

1

3

×5

3

×2

21

=10

7

．

解答：解：（1）∵△PAB中，D为AB中点，M为PB中点，
∴DM∥PA
∵DM?平面PAC，PA?平面PAC，
∴DM∥平面PAC…（4分）
（2）∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，
∴PD=DB=AD=

1

2

AB=10．…（5分）
∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，…（6分）
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC．            …（8分）
∵BC?平面PBC
∴AP⊥BC．                 …（10分）
又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，AP、AC?平面PAC．
∴BC⊥平面PAC．…（12分）
∵BC?平面ABC．
∴平面PAC⊥平面ABC．…（14分）
（3）由（1）知DM∥PA，由（2）知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平面PBC．…（15分）
∵正三角形PDB中易求得DM=5

3

，…（16分）
且S△BCM=

1

2

S△PBC=

1

2

•

1

2

BC•PC=

1

4

•4•

102-42

=2

21

．…（17分）
∴VM-BCD=VD-BCM=

1

3

×5

3

×2

21

=10

7

．…（18分）

点评：本题给出一个特殊的三棱锥，通过求证线面平行、面面垂直和求体积，着重考查了空间的线面平行判定定理和直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质，属于中档题．