Question

【题目】对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[﹣3.6]=﹣4，关于函数f（x）=[ ﹣[ ]]，有下列命题： ①f（x）是周期函数；
②f（x）是偶函数；
③函数f（x）的值域为{0，1}；
④函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间（0，π）内有两个不同的零点，
其中正确的命题为（把正确答案的序号填在横线上）．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：∵f（x+3）=[ ﹣[ ]]=[ +1﹣[ +1]]=f（x），∴f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确． f（x）=[ ﹣[ ]]= ，结合函数的周期性可得函数的值域为{0，1}，则函数不是偶函数，故②错，③正确．
f（x）=[ ﹣[ ]]= ，故g（x）=f（x）﹣cosπx在区间（0，π）内有3个不同的零点 ， ，2，故④错误．
则正确的命题是①③，
所以答案是：①③
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．