对定义在区间上的函数
,若存在闭区间
和常数
,使得对任意的
,都有
,且对任意的
都有
恒成立,则称函数
为区间
上的“
型”函数.
(1)求证:函数是
上的“
型”函数;
(2)设是(1)中的“
型”函数,若不等式
对一切的
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数是区间
上的“
型”函数,求实数
和
的值.
(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数,可作出函数的图象,不难发现当
时,
;当
时,
,由此可易得证; (2)由(1)中的函数不难求出函数的最小值,这们即可将问题转化为求
恒成立,这是一个关于
的含有绝对值的不等式,去掉绝对值可得
,然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集; (3)根据题中“
型”函数的定义,则可假设存在闭区间
和常数
,使得对任意的
,都有
,这样即可得到一个恒等式,即
对任意
恒成立,则对应系数分别相等,即可求出对应的
,注意要回代检验一下,判断其余的是否均大于这个最小值.
试题解析:(1)当时,
;当
时,
,
∴ 存在闭区间和常数
符合条件.
4分
(2)对一切的
恒成立,
∴ ,
6分
解得 .
10分
(3)存在闭区间和常数
,使得对任意的
,
都有,即
,
∴ 对任意
恒成立
∴ 或
12分
① 当时,
当时,
当,即
时,
由题意知,符合条件;
14分
②当时,
∴不符合要求;
16分
综上,.
考点:1.新定义题;2.分段函数的处理;3.函数的最值
科目:高中数学 来源: 题型:
|
1 |
x |
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市徐汇区高三第一学期学习能力诊断卷理科数学 题型:解答题
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,
第3小题满分7分.
对定义在区间上的函数
,若存在闭区间
和常数
,使得对任意的
都有
,且对任意的
都有
恒成立,则称函数
为区间
上的“U型”函数。
(1)求证:函数是
上的“U型”函数;
(2)设是(1)中的“U型”函数,若不等式
对一切的
恒成立,
求实数的取值范围;
(3)若函数是区间
上的“U型”函数,求实数
和
的值.
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科目:高中数学 来源:2010年高考试题分项版理科数学之专题二函数 题型:解答题
(16分)设使定义在区间
上的函数,其导函数为
.如果存在实数
和函数
,其中
对任意的
都有
>0,使得
,则称函数
具有性质
.
(1)设函数,其中
为实数
①求证:函数具有性质
②求函数的单调区间
(2)已知函数具有性质
,给定
,
,且
,若|
|<|
|,求
的取值范围
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科目:高中数学 来源: 题型:
将函数的图象先向左平移1个单位,再向下平移1个单位所得图象对应的函数为
(1)求的解析式;
(2)对定义在区间上的函数
若存在常数
,对于任意的
存在唯一的
使
则称函数
在
上的均值为
求函数
在
上的均值.
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