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对定义在区间上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意的,都有,且对任意的都有恒成立,则称函数为区间上的“型”函数.

(1)求证:函数上的“型”函数;

(2)设是(1)中的“型”函数,若不等式对一切的恒成立,求实数的取值范围;

(3)若函数是区间上的“型”函数,求实数的值.

 

【答案】

(1)详见解析;(2);(3)

【解析】

试题分析:(1)根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数,可作出函数的图象,不难发现当时,;当时,,由此可易得证; (2)由(1)中的函数不难求出函数的最小值,这们即可将问题转化为求恒成立,这是一个关于的含有绝对值的不等式,去掉绝对值可得,然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集; (3)根据题中“型”函数的定义,则可假设存在闭区间和常数,使得对任意的,都有,这样即可得到一个恒等式,即对任意恒成立,则对应系数分别相等,即可求出对应的,注意要回代检验一下,判断其余的是否均大于这个最小值.

试题解析:(1)当时,;当时,

∴ 存在闭区间和常数符合条件.                        4分

(2)对一切的恒成立,

,                         6分

解得 .                                                    10分

(3)存在闭区间和常数,使得对任意的

都有,即

对任意恒成立

                               12分

① 当时,

时,

,即时,

由题意知,符合条件;                                     14分

②当时,  

不符合要求;                                          16分

综上,

考点:1.新定义题;2.分段函数的处理;3.函数的最值

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

下列判断正确的是
(把正确的序号都填上).
①函数y=|x-1|与y=
x-1,x>1
1-x,x<1
是同一函数;
②若函数f(x)在区间(-∞,0)上递增,在区间[0,+∞)上也递增,则函数f(x)必在R上递增;
③对定义在R上的函数f(x),若f(2)≠f(-2),则函数f(x)必不是偶函数;
④函数f(x)=
1
x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减;
⑤若x1是函数f(x)的零点,且m<x1<n,那么f(m)•f(n)<0.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市徐汇区高三第一学期学习能力诊断卷理科数学 题型:解答题

(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,

第3小题满分7分.

对定义在区间上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意的都有,且对任意的都有恒成立,则称函数为区间上的“U型”函数。

(1)求证:函数上的“U型”函数;

(2)设是(1)中的“U型”函数,若不等式对一切的恒成立,

求实数的取值范围;

(3)若函数是区间上的“U型”函数,求实数的值.

 

 

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科目:高中数学 来源:2010年高考试题分项版理科数学之专题二函数 题型:解答题

(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质.

(1)设函数,其中为实数

①求证:函数具有性质

②求函数的单调区间

(2)已知函数具有性质,给定,且,若||<||,求的取值范围

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

将函数的图象先向左平移1个单位,再向下平移1个单位所得图象对应的函数为

(1)求的解析式;

(2)对定义在区间上的函数若存在常数,对于任意的存在唯一的使则称函数上的均值为求函数上的均值.

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