Question

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜k恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

Answer 1

（1）∵Sn=(

an+1

2

)2，
∴Sn-1=(

an-1+1

2

)2，n≥2，
两式相减得an=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，n≥2，…（2分）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2，∴{a_n}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(

a1+1

2

)2得a₁=1，∴a_n=2n-1．…（5分）
（2）由题意得k＞(

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

)max，
∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（8分）∴k≥

1

2

…（10分）
（3）对任意m∈N₊，2^m＜2n-1＜2^2m，则2m-1+

1

2

＜n＜22m-1+

1

2

，
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=

2-22m+1

1-22

-

1-2m

1-2

=

22m+1-2

3

-(2m-1)=

22m+1-3•2m+1

3

，
即Sm=

22m+1-3•2m+1

3

．…（16分）