Question

11．如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，且对角线AC的中点为O，E为AD的中点，将△ADC沿对角线AC折起得平面ADC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：平面EOB⊥平面AOD；
（Ⅱ）求平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DO⊥AC，DO⊥BO，BO⊥平面ADC，由此能证明平面EOB⊥平面AOD．
（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC
又AC的中点为O，所以DO⊥AC，
∴DO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴DO⊥BO，
又BO⊥AC，DO∩AC=O，∴BO⊥平面ADC，
又BO?平面EOB，∴平面EOB⊥平面AOD．
解：（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，-1，0），D（0，0，1），E（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（1，0，0），
C（0，1，0），
$\overrightarrow{OE}$=（0，-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{OB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，-1），
设平面EOB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设平面EOB与平面BCD所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．