Question

（理）如图，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A作垂直于PC的截面ADE，截面交PC于点D，交PB于点E．
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；                         
（Ⅱ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 若点M为△PBC内的点，且满足M到AD的距离等于M到BC的距离，试指出点M的轨迹是什么图形，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明线线垂直的关键是利用线面垂直的性质，因此只需要证明线面垂直即可，利用面面垂直的性质可以证明；                         
（Ⅱ）证明线面平行的关键是利用线面平行的判定定理，因此只需要证明DE平行于平面ABC内的一条直线即可；
（Ⅲ） 先证明AD⊥平面PBC，从而MD为M到AD的距离，因为点M为△PBC内的点，且满足M到AD的距离等于M到BC的距离，根据抛物线的定义，可知点M的轨迹是抛物线的一部分．

解答：（Ⅰ）证明：∵P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵平面PAC∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BC⊥PC；                         
（Ⅱ）证明：∵PC⊥截面ADE，DE?截面ADE
∴PC⊥DE
∵BC⊥PC
∴DE∥BC
∵DE?平面ABC，BC?平面ABC
∴DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 解：连接MD
∵PC⊥截面ADE，AD?截面ADE
∴AD⊥BC
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC
∴AD⊥平面PBC
∵MD?平面PBC
∴AD⊥MD
∴MD为M到AD的距离
∵点M为△PBC内的点，且满足M到AD的距离等于M到BC的距离
∴根据抛物线的定义，可知点M的轨迹是抛物线的一部分．

点评：本题以线面垂直为载体，考查线线垂直，线面平行，考查轨迹问题，解题的关键是正确运用线面垂直，线面平行的判定与性质．