Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长最短，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先整理出圆C的标准方程，得到圆心C（-2，6），半径r=4，利用垂径定理结合题意，即可求出直线l的方程．
（2）先求得圆心O的坐标和PO中点坐标，根据直角三角形中线的性质可知，过P点的⊙C的弦的中点轨迹是以PO中点为圆心，以

1

2

|PO|为半径的圆，进而可得圆的方程．

解答： 解：（1）圆方程可化为（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圆心C（-2，6），半径r=4，
∴k_CP=-

1

2

，
∴当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为y=2x+5．
（2）由P（0，5），O（-2，6），PO中点坐标（-1，

11

2

）设弦中点为M，则∠PMO=90°
由此可知过P点的⊙C的弦的中点轨迹是以PO中点为圆心，以

1

2

|PO|为半径的圆，
∵

1

2

|PO|=

5

2

∴过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程为（x+1）²+（y-

11

2

）²=

5

4

，
又此方程是弦中点的轨迹方程，故应为在圆C：x²+y²+4x-12y+24=0内部的部分．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查了轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．