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【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人,余下的人中,在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 ,统计成绩后,得到如下的2×2列联表:

分数大于等于120分

分数不足120分

合 计

周做题时间不少于15小时

4

19

周做题时间不足15小时

合 计

45

(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;
(Ⅱ)(i) 按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X,求X的分布列(概率用组合数算式表示);
(ii) 若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附:

P(K2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

【答案】解:(Ⅰ)列联表:

分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

15

4

19

周做题时间不足15小时

10

16

26

合计

25

20

45


∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.
(Ⅱ)( i)9× =4,故需要从不足120分的学生中抽取4人.
X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)=
( ii)从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人,此人周做题时间不少于15小时的概率为 =0.6,
设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y,则Y~B(20,0.6),
故E(Y)=12,D(Y)=4.8.
【解析】(I)根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时,且数学平均成绩不足120分的人数,再根据合计数填表;(II)(i)计算抽取的人数中分数不足120分的人数,根据超几何分布的概率公式计算;(ii)根据二项分布的性质计算.

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C.d≈
D.d≈

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C.(﹣ ,0)∪(0,
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