Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+5）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，并求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-ax在区间[-2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）已知：当0＜x＜

1

2

时，不等式f（x）+3＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，用特殊值法，令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1），可得f（0）=-2，再令y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）的值，计算可得答案；
（2）根据题意，可得g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，其对称轴为x=

a-1

2

，由二次函数的性质，可得

a-1

2

≤-2或

a-1

2

≥2，解可得a的取值范围；
（3）根据题意，f（x）+3＜2x+m可以变形为x²-x+1＜m，又由0＜x＜

1

2

，结合二次函数的性质可得，x²-x+1＜1，若x²-x+1＜m恒成立，只需令m大于x²-x+1的最大值即可．

解答：解：（1）在f（x+y）-f（y）=（x+2y+5）中，
令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
又由f（1）=0，则f（0）=-2，
令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），
又∵f（0）=-2，
∴f（x）=x²+x-2，
（2）g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，其对称轴为x=

a-1

2

，
若g（x）=f（x）-ax在区间[-2，2]上是单调函数，
得

a-1

2

≤-2或

a-1

2

≥2，
解可得a≤-3或a≥5；
（3）根据题意，f（x）+3＜2x+m，
则有x²+x-2+3＜2x+m，即x²-x+1＜m，
又由0＜x＜

1

2

，则

3

4

＜x²-x+1＜1，
又x²-x+1＜m恒成立，
所以m≥1．

点评：本题考查抽象函数的应用，涉及函数恒成立问题，关键是用特殊值法求出f（x）的解析式．